|
|
 |
Условие
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
Решение
Обозначим вершины пятиугольника так, как показано на рисунке. Если в треугольнике две высоты равны, то равны и стороны, на которые опущены эти высоты. Рассматривая треугольники EAB, ABC и BCD, получаем EA = AB, AB = BC и BC = CD. Поэтому трапеции EABC и ABCD равнобедренные, то есть ∠A = ∠B = ∠C. Рассматривая треугольники ABD и BCE, получаем AD = BD и BE = CE. Так как треугольники EAB, ABC, BCD равны, то
BE = AC = BD. Поэтому AD = BE и BD = CE, то есть трапеции ABDE и CDEB равнобедренные. Следовательно, ED = AB = BC = CD = AE и
∠E = ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, то есть ABCDE — правильный пятиугольник.
Замечания
Задача также имеется в кн. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б. Гашков. "Примени математику". Наука, 1989, зад. 17.19.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Правильные многоугольники |
| Тема | Правильные многоугольники |
| задача | |
| Номер | 06.055 |
