Задача 57082

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X – центр n-угольника.

Решение

Пусть X_k – образ точки X при повороте относительно центра O данного n-угольника A₁...A_n, переводящем A_k в A₁. При этом повороте отрезок A_kX переходит в A₁X_k. Следовательно,  A₁X + ... + A_nX = A₁X₁ + ... + A₁X_n.  А так как n-угольник X₁...X_n правильный, то   + ... + = n  (см. задачу 57077), а значит,  A₁X₁ + ... + A₁X_n ≥ n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.069