Информация о задаче

Задача 57094

Тема:

[

Вписанные и описанные многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Положительные числа a₁,..., a_n таковы, что 2a_i < a₁ + ... + a_n при всех i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны a₁,..., a_n.

Решение

Без ограничения общности можно считать, что a_n — наибольшее из чисел a₁,..., a_n. Пусть n-угольник A₁...A_n вписан в окружность с центром O. Тогда A_iA_{i + 1} : A₁A_n = sin( $\angle$ A_iOA_{i + 1}/2) : sin( $\angle$ A₁OA_n/2). Поэтому поступим следующим образом. Из соотношения sin( $\varphi_{i}^{}$ /2) : sin( $\varphi$ /2) = a_i : a_n угол $\varphi_{i}^{}$ однозначно выражается через $\varphi$ , если $\varphi_{i}^{}$ < $\pi$ . На окружности радиуса 1 фиксируем точку A_n и рассмотрим такие переменные точки A₁,..., A_{n - 1}, A_n', что $\smile$ A_nA₁ = $\varphi$ , $\smile$ A₁A₂ = $\varphi_{1}^{}$ ,..., $\smile$ A_{n - 2}A_{n - 1} = $\varphi_{n-2}^{}$ и $\smile$ A_{n - 1}A_n' = $\varphi_{n-1}^{}$ , причем расположим эти точки двумя различными способами, изображенными на рис. (первый способ (рис., а) будет соответствовать n-угольнику, содержащему центр окружности, а второй (рис., б) — не содержащему). Остается доказать, что при изменении $\varphi$ от 0 до $\pi$ в одном из этих случаев точка A_n' совпадает с A_n (в самом деле, тогда с точностью до подобия получается искомый n-угольник). Предположим, что в первом случае при 0 $\leq$ $\varphi$ $\leq$ $\pi$ точки A_n' и A_n никогда не совпадают, т. е. при $\varphi$ = $\pi$ выполняется неравенство $\varphi_{1}^{}$ + ... + $\varphi_{n-1}^{}$ < $\pi$ . Рисунок 6.16, б требует некоторых комментариев: при малых углах sin $\alpha$ $\approx$ $\alpha$ , поэтому из условия задачи следует, что при малых углах точка A_n действительно лежит на дуге A₁A_n', так как $\varphi_{1}^{}$ + ... + $\varphi_{n-1}^{}$ > $\varphi$ . Итак, при малых углах $\varphi_{1}^{}$ + ... + $\varphi_{n-1}^{}$ > $\varphi$ , а если $\varphi$ = $\pi$ , то согласно предположению $\varphi_{1}^{}$ + ... + $\varphi_{n-1}^{}$ < $\pi$ = $\varphi$ . Поэтому в некоторый момент $\varphi$ = $\varphi_{1}^{}$ + ... + $\varphi_{n-1}^{}$ , т. е. точки A_n и A_n' совпадают.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.081