Условие
Положительные числа
a1,...,
an таковы,
что
2
ai <
a1 + ... +
an при всех
i = 1,...,
n. Докажите,
что существует вписанный
n-угольник, длины сторон которого
равны
a1,...,
an.
Решение
Без ограничения общности можно считать, что
an —
наибольшее из чисел
a1,...,
an. Пусть
n-угольник
A1...
An вписан в окружность с центром
O. Тогда
AiAi + 1 :
A1An = sin(
AiOAi + 1/2) : sin(
A1OAn/2).
Поэтому поступим следующим образом. Из
соотношения
sin(

/2) : sin(

/2) =
ai :
an
угол

однозначно выражается через

, если

<

. На
окружности радиуса 1 фиксируем точку
An и рассмотрим такие переменные
точки
A1,...,
An - 1,
An', что
AnA1 =

,
A1A2 =

,...,
An - 2An - 1 =

и
An - 1An' =

, причем расположим эти точки двумя различными
способами, изображенными на рис. (первый способ (рис.,
а)
будет соответствовать
n-угольнику, содержащему центр окружности,
а второй (рис.,
б) — не содержащему). Остается доказать, что
при изменении

от 0 до

в одном из этих случаев
точка
An' совпадает с
An (в самом деле, тогда с точностью до
подобия получается искомый
n-угольник). Предположим, что в первом
случае при
0

точки
An' и
An никогда не
совпадают, т. е. при

=

выполняется
неравенство

+ ... +

<

. Рисунок 6.16,
б требует
некоторых комментариев: при малых углах
sin

,
поэтому из условия задачи следует, что при малых углах точка
An
действительно лежит на дуге
A1An', так
как

+ ... +

>

. Итак, при малых
углах

+ ... +

>

, а если

=

, то согласно
предположению

+ ... +

<

=

. Поэтому в некоторый
момент

=

+ ... +

, т. е. точки
An и
An'
совпадают.
Источники и прецеденты использования