Условие
Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные,
остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и
нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот
многоугольник нельзя вписать окружность.
Решение
Пусть
BC — синяя сторона,
AB и
CD —
соседние с
BC стороны. По условию стороны
AB и
CD красные.
Предположим, что многоугольник описанный;
P,
Q,
R — точки касания
сторон
AB,
BC,
CD с вписанной окружностью. Ясно, что
BP =
BQ,
CR =
CQ и
отрезки
BP,
CR граничат только с одним синим отрезком. Поэтому сумма
длин красных сторон не меньше суммы длин синих сторон. Получено
противоречие с тем, что сумма длин красных сторон меньше половины
периметра. Поэтому в многоугольник нельзя вписать окружность.
Источники и прецеденты использования
