Задача 57111

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Точки A и A₁, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A₁P₁ сонаправлены, лучи AQ и A₁Q₁ тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P₁Q и PQ₁ лежит на прямой AA₁. (Точки P, P₁, Q и Q₁ лежат на окружности.)

Решение

Пусть лучи PA и QA пересекают окружность в точках P₂ и Q₂, т. е. P₁P₂ и Q₁Q₂ — диаметры данной окружности. Применим теорему Паскаля к шестиугольнику  PP₂P₁QQ₂Q₁. Прямые PP₂ и QQ₂ пересекаются в точке A, а прямые P₁P₂ и Q₁Q₂ пересекаются в точке O, поэтому точка пересечения прямых P₁Q и Q₁P лежит на прямой AO.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.096