Задача 57114

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 7 Классы: 9

Условие

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

Решение

Пусть P и Q — точки пересечения прямой A₃A₄ с A₁A₂ и A₁A₆, а R и S — точки пересечения прямой A₄A₅ с A₁A₆ и A₁A₂. Тогда  A₂K : A₃L = A₂P : A₃P, A₃L : A₆M = A₃Q : A₆Q и  A₆M : A₅N = A₆R : A₅R. Поэтому требуемое соотношение  A₂K : A₅N = A₂S : A₅S перепишется в виде

^{. . .} = 1.

Пусть T — точка пересечения прямых A₂A₃ и A₅A₆; по теореме Паскаля точки S, Q и T лежат на одной прямой. Применяя теорему Менелая (см. задачу 5.58) к треугольнику PQS и точкам T, A₂ и A₃, а также к треугольнику RQS и точкам T, A₅ и A₆, получаем

^{. .} = 1    и     ^{. .} = 1.

Перемножая эти равенства, получаем требуемое. (Отношения отрезков следует считать ориентированными.)

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.098