Информация о задаче

Задача 57142

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 8,9
Название задачи: Окружность Аполлония.

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

Решение

При k = 1 получаем серединный перпендикуляр к отрезку AB. В дальнейшем будем считать, что k $\ne$ 1.
Введем систему координат на плоскости так, чтобы точки A и B имели координаты (- a, 0) и (a, 0) соответственно. Если точка M имеет координаты (x, y), то ${\frac{AM^2}{BM^2}}$ = ${\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}}$ . Уравнение ${\frac{AM^2}{BM^2}}$ =k² приводится к виду

$\displaystyle \left(\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right.$ x + $\displaystyle {\frac{1+k^2}{1-k^2}}$ a $\displaystyle \left.\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right)^{2}_{}$ + y² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2ka}{1-k^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right)^{2}_{}$ .

Это уравнение является уравнением окружности с центром $\left(\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right.$ - ${\frac{1+k^2}{1-k^2}}$ a, 0 $\left.\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right)$ и радиусом ${\frac{2ka}{\vert 1-k^2\vert}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	2
Название	ГМТ - окружность или дуга окружности
Тема	ГМТ - окружность или дуга окружности
задача
Номер	07.014