Задача 57158

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Гомотетия (ГМТ) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Радиусы окружностей ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

Решение 1

Пусть P и Q – центры описанных окружностей треугольников AMB и CMB. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда BPMQ – ромб, то есть точка M является образом середины отрезка PQ при гомотетии с центром B и коэффициентом 2. А так как проекции точек P и Q на прямую AC являются серединами отрезков AB и BC, середины всех отрезков PQ лежат на одной прямой.

Решение 2

Поскольку синусы углов MBA и MBC равны, то равенство радиусов описанных окружностей эквивалентно равенству отрезков MA и MC.

Ответ

Серединный перпендикуляр к отрезку AC (без середины отрезка AC).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	5
Название	Гомотетия
Тема	Гомотетия (ГМТ)
задача
Номер	07.029