Задача 57173

Тема:    [ Теорема Карно ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на соответствующие стороны треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A₁B₁C₁ на соответствующие стороны треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.
б) Прямые, проведенные через вершины треугольника ABC параллельно соответствующим сторонам треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что прямые, проведенные через вершины треугольника A₁B₁C₁ параллельно соответствующим сторонам треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.

Решение

а) Эта задача является очевидным следствием задачи 7.40.
б) Пусть при повороте на  90^o относительно некоторой точки треугольник A₁B₁C₁ переходит в A₂B₂C₂. Перпендикуляры к сторонам треугольника A₂B₂C₂ параллельны соответствующим сторонам треугольника A₁B₁C₁, поэтому перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на стороны треугольника A₂B₂C₂, пересекаются в одной точке. Следовательно, в одной точке пересекаются перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A₂B₂C₂ на стороны треугольника ABC. Остается заметить, что при повороте на  90^o, переводящем треугольник A₂B₂C₂ в A₁B₁C₁, эти перпендикуляры переходят в прямые, проходящие через стороны треугольника A₁B₁C₁ параллельно соответствующим сторонам треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	8
Название	Теорема Карно
Тема	Теорема Карно
задача
Номер	07.043