Условие
Прямая
l пересекает две окружности в четырех
точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными
в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит
на прямой, соединяющей центры данных окружностей.
Решение
Пусть прямая
l высекает на данных окружностях
дуги
A1B1 и
A2B2 величиной
2
и
2
;
O1
и
O2 — центры окружностей,
R1 и
R2 — их радиусы.
Пусть
K — точка пересечения касательных в точках
A1 и
A2. По
теореме синусов
KA1 :
KA2 = sin
: sin
,
т. е.
KA1sin
=
KA2sin
. А так как
KO12 =
KA12 +
R12
и
KO22 =
KA22 +
R22, то
(sin
2)
KO12 - (sin
2)
KO22 = (
R1sin
)
2 - (
R2sin
)
2 =
q. Аналогично доказывается, что и
остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому
месту таких точек
X,
что
(sin
2)
XO12 - (sin
2)
XO22 =
q. Это
ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой
O1O2 (см. замечание к задаче
7.47).
Источники и прецеденты использования
