Задача 57210

Тема:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник ABC по h_a, b - c и r.

Решение

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Пусть Q — точка касания вписанной окружности со стороной BC, PQ — диаметр этой окружности, R — точка касания вневписанной окружности со стороной BC. Ясно, что  BR = (a + b + c)/2 - c = (a + b - c)/2 и  BQ = (a + c - b)/2. Поэтому  RQ = | BR - BQ| = | b - c|. Вписанная окружность треугольника ABC и вневписанная окружность, касающаяся стороны BC, гомотетичны с центром гомотетии A. Поэтому точка A лежит на прямой PR (рис.).
Из этого вытекает следующее построение. Строим прямоугольный треугольник PQR по известным катетам PQ = 2r и RQ = | b - c|. Затем проводим две прямые, параллельные прямой RQ и удаленные от нее на расстояние h_a. Вершина A является точкой пересечения одной из этих прямых с лучом RP. Так как длина диаметра PQ вписанной окружности известна, ее можно построить. Точки пересечения касательных к этой окружности, проведенных из точки A, с прямой RQ являются вершинами B и C треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	3
Название	Подобные треугольники и гомотетия
Тема	Подобные треугольники и гомотетия (построения)
задача
Номер	08.016