Информация о задаче

Задача 57265

Тема:

[

Построения (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны диаметр AB окружности и точка C на нем. Постройте на этой окружности точки X и Y, симметричные относительно прямой AB, так, чтобы прямые AX и YC были перпендикулярными.

Решение

Предположим, что точки X и Y, обладающие требуемыми свойствами, построены. Обозначим точку пересечения прямых AX и YC через M, а точку пересечения прямых AB и XY через K. Прямоугольные треугольники AXK и YXM имеют общий острый угол X, поэтому $\angle$ XAK = $\angle$ XYM. Углы XAB и XYB опираются на одну дугу, поэтому $\angle$ XAB = $\angle$ XYB. Следовательно, $\angle$ XYM = $\angle$ XYB. Так как XY $\perp$ AB, то A — середина отрезка CB.
Обратно, если K — середина отрезка CB, то $\angle$ MYX = $\angle$ BYX = $\angle$ XAB. Треугольники AXK и YXM имеют общий угол X и $\angle$ XAK = $\angle$ XYM, поэтому $\angle$ YMX = $\angle$ AKX = 90^o.
Из этого вытекает следующее построение. Через середину K отрезка CB проводим прямую l, перпендикулярную прямой AB. Точки X и Y являются точками пересечения прямой l с данной окружностью.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	10
Название	Разные задачи
Тема	Построения (прочее)
задача
Номер	08.067