Информация о задаче

Задача 57313

Тема:

[

Алгебраические задачи на неравенство треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$ $\displaystyle \ge$ 3.

Решение

Пусть x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c. Согласно неравенству треугольника эти числа положительны. Ясно, что a = ${\frac{y+z}{2}}$ , b = ${\frac{x+z}{2}}$ , c = ${\frac{x+y}{2}}$ . Поэтому требуемое неравенство переписывается в виде

$\displaystyle {\frac{y+z}{2x}}$ + $\displaystyle {\frac{x+z}{2y}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{2z}}$ $\displaystyle \ge$ 3.

Остаётся заметить, что ${\frac{x}{y}}$ + ${\frac{y}{x}}$ $\ge$ 2 и т.д.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.009B