Условие
Пять отрезков таковы, что из любых трех из них
можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих
треугольников остроугольный.
Решение
Обозначим длины отрезков так, что
a1 a2 a3 a4 a5. Если все треугольники, которые можно составить
из этих отрезков, не остроугольные, то
a32 a12 +
a22,
a42 a22 +
a32 и
a52 a32 +
a42.
Поэтому
a52 a32 +
a42 (
a12 +
a22) + (
a22 +
a32)
2
a12 + 3
a22. Так как
a12 +
a22 2
a1a2, то
2
a12 + 3
a22 >
a12 + 2
a1a2 +
a22 = (
a1 +
a2)
2. Приходим к
неравенству
a52 > (
a1 +
a2)
2, противоречащему неравенству
треугольника.
Источники и прецеденты использования