Задача 57325

Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 5+ Классы: 8

Условие

Пусть дан выпуклый (2n + 1)-угольник  A₁A₃A₅...A_{2n + 1}A₂...A_2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная  A₁A₂A₃...A_{2n + 1}A₁.

Решение

Рассмотрим произвольную замкнутую ломаную с вершинами в вершинах данного многоугольника. Если у нее есть два непересекающихся звена, то, заменив эти звенья на диагонали заданного ими четырехугольника, мы увеличим сумму длин звеньев; при этом, однако, одна замкнутая ломаная может распасться на две. Докажем, что в случае нечетного числа звеньев после нескольких таких операций в конце концов получится все же замкнутая ломаная (так как сумма длин звеньев каждый раз увеличивается, таких операций возможно лишь конечное число). Одна из получившихся замкнутых ломаных должна иметь нечетное число звеньев, но тогда любое из оставшихся звеньев не пересекается хотя бы с одним из звеньев этой ломаной (см. задачу 23.1, а), значит, в конце концов, получится лишь одна замкнутая ломаная.
Будем теперь последовательно строить ломаную с попарно пересекающимися звеньями (рис.). Например, вершина 10 должна лежать внутри заштрихованного треугольника, поэтому расположение вершин именно такое, как на рис. Значит, выпуклому многоугольнику  A₁A₃A₅...A_{2n + 1}A₂...A_2n соответствует ломаная  A₁A₂A₃...A_{2n + 1}A₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	3
Название	Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема	Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер	09.021