Условие
Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0, 5,
помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника
можно поместить отрезок длины 0, 5, параллельный стороне квадрата.
Решение
Проведем через все вершины многоугольника прямые,
параллельные одной паре сторон квадрата, и разобьем тем самым
квадрат на полоски. Каждая такая полоска отрезает от многоугольника
трапецию или треугольник. Достаточно доказать, что длина одного из
оснований этих трапеций больше 0, 5. Предположим, что длины
оснований всех трапеций не превосходят 0, 5. Тогда площадь каждой
трапеции не превосходит половины высоты полоски, ее заключающей.
Поэтому площадь многоугольника, равная сумме площадей трапеций
и треугольников, на которые он разрезан, не превосходит половины
суммы высот полосок, т. е. не превосходит 0, 5. Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
