Условие
Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего
внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.
Решение
Рассмотрим сначала случай, когда две стороны
параллелограмма лежат на прямых
AB и
AC, а четвертая вершина
X
лежит на стороне
BC. Если
BX :
CX =
x : (1 -
x), то отношение
площади параллелограмма к площади треугольника равно
2
x(1 -
x)
1/2.
В общем случае проведем параллельные прямые, содержащие
пару сторон данного параллелограмма (рис.). Площадь данного
параллелограмма не превосходит суммы площадей заштрихованных
параллелограммов, а они относятся к разобранному выше случаю.
Если прямые, содержащие пару сторон данного параллелограмма,
пересекают лишь две стороны треугольника, то можно ограничиться
одним заштрихованным параллелограммом.
Источники и прецеденты использования
