Задача 57361
|
|
 |
Условие
а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади S можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2S.б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S можно вписать параллелограмм площади не менее S/2.
Решение
а) Пусть AB — наибольшая диагональ или сторона данного многоугольника M. Многоугольник M заключен внутри полосы, образованной перпендикулярами к отрезку AB, проходящими через точки A и B. Проведем к многоугольнику M две опорные прямые, параллельные AB; пусть они пересекают многоугольник M в точках C и D. В результате многоугольник M заключен в прямоугольник, площадь которого равна 2SABC + 2SABDб) Пусть M — исходный многоугольник, l — произвольная прямая. Рассмотрим многоугольник M1, одна из сторон которого — проекция M на l, а длины сечений многоугольников M и M1 любой прямой, перпендикулярной l, равны (рис.). Легко проверить, что многоугольник M1 тоже выпуклый, причем его площадь равна S. Пусть A — наиболее удаленная от l точка многоугольника M1. Прямая, равноудаленная от точки A и прямой l, пересекает стороны многоугольника M1 в точках B и C. Проведем через точки B и C опорные прямые. В результате вокруг многоугольника M1 будет описана трапеция (через точку A тоже можно провести опорную прямую); площадь этой трапеции не менее S. Если высота трапеции (т. е. расстояние от точки A до прямой l) равна h, то ее площадь равна h . BC, а значит, h . BC
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Геометрические неравенства |
| Тема | Геометрические неравенства |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Площадь. Одна фигура лежит внутри другой |
| Тема | Площадь. Одна фигура лежит внутри другой |
| задача | |
| Номер | 09.055 |
