Информация о задаче

Задача 57381

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCDE — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. Докажите, что

a² + b² + c² + d² + abc + bcd < 4.

Решение

Ясно, что 4 = AE² = | $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{DE}$ |² = | $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ |² + 2( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{DE}$ ) + | $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{DE}$ |². Так как $\angle$ ACE = 90^o, то ( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{DE}$ ) = ( $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{CE}$ ) = 0. Поэтому 4 = | $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ |² + | $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{DE}$ |² = AB² + BC² + CD² + DE² + 2( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ ) + 2( $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DE}$ ), т. е. достаточно доказать, что abc < 2( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ ) и bcd < 2( $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DE}$ ). Поскольку 2( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ ) = 2ab cos(180^o - $\angle$ ABC) = 2ab cos AEC = ab^.CE и c < CE, то abc < 2( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ ). Второе неравенство доказывается аналогично, так как можно ввести новые обозначения A₁ = E, B₁ = D, C₁ = C, a₁ = d, b₁ = c, c₁ = b, и неравенство bcd < 2( $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DE}$ ) перепишется в виде a₁b₁c₁ < 2( $\overrightarrow{A_1B_1}$ , $\overrightarrow{B_1C_1}$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.075