Информация о задаче

Задача 57386

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны a и b, то его длина не меньше (a + b)/ $\sqrt{2}$ .
б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны a и b. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$ (a + b).

Решение

а) Нужно доказать, что если c — гипотенуза прямоугольного треугольника, а a и b — его катеты, то c $\geq$ (a + b)/ $\sqrt{2}$ , т. е. (a + b)² $\leq$ 2(a² + b²). Ясно, что (a+b)² = (a² + b²) + 2ab $\leq$ (a² + b²) + (a² + b²) = 2(a² + b²).
б) Пусть d_i — длина i-ой стороны многоугольника, а x_i и y_i — длины ее проекций на координатные оси. Тогда x₁ + ... + x_n $\geq$ 2a, y₁ + ... + y_n $\geq$ 2b. Согласно задаче а) d_i $\geq$ (x_i + y_i)/ $\sqrt{2}$ . Поэтому d₁ + ... + d_n $\geq$ (x₁ + ... + x_n + y₁ + ... + y_n)/ $\sqrt{2}$ $\geq$ $\sqrt{2}$ (a + b).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.080