Задача 57400

Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника.
Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

Решение

Пусть остроугольный треугольник ABC расположен внутри окружности S. Построим описанную окружность S₁ треугольника ABC. Так как треугольник ABC остроугольный, то угловая величина дуги окружности S₁, лежащей внутри S, больше  180^o. Поэтому на этой дуге можно выбрать диаметрально противоположные точки, т. е. внутри окружности S содержится диаметр окружности S₁. Следовательно, радиус окружности S не меньше радиуса окружности S₁.
Аналогичное утверждение для тупоугольного треугольника не верно. Тупоугольный треугольник лежит внутри окружности, построенной на наибольшей стороне a как на диаметре. Радиус этой окружности равен a/2, а радиус описанной окружности треугольника равен  a/(2 sin). Ясно, что  a/2 < a/(2 sin).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер	09.092