Задача 57410

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A₁MB₁C описанный, то AC = BC.

Решение

Предположим, например, что a > b. Тогда m_a < m_b (задача 10.1). А так как четырехугольник A₁MB₁C описанный, то  + = + , т. е.  (a-b)/2 = (m_a-m_b)/3. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	1
Название	Медианы
Тема	Неравенства с медианами
задача
Номер	10.002