Информация о задаче

Задача 57432

Тема:

[

Длины сторон (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что 2bc cos $\alpha$ /(b + c) < b + c - a < 2bc/a.

Решение

Докажем сначала, что b + c - a < 2bc/a. Пусть 2x = b + c - a, 2y = a + c - b и 2z = a + b - c. Требуется доказать, что 2x < 2(x + y)(x + z)/(y + z), т. е. xy + xz < xy + xz + x² + yz. Последнее неравенство очевидно.
Так как 2bc cos $\alpha$ = b² + c² - a² = (b + c - a)(b + c + a) - 2bc, то

$\displaystyle {\frac{2bc\cos\alpha }{b+c}}$ = b + c - a + $\displaystyle \left[\vphantom{\frac{(b+c-a)a}{b+c}-\frac{2bc}{b+c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{(b+c-a)a}{b+c}}$ - $\displaystyle {\frac{2bc}{b+c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{(b+c-a)a}{b+c}-\frac{2bc}{b+c}}\right]$ .

Выражение в квадратных скобках отрицательно, так как b + c - a < 2bc/a.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	4
Название	Длины сторон
Тема	Длины сторон (неравенства)
задача
Номер	10.022