Информация о задаче

Задача 57438

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что ${\frac{r_a}{h_a}}$ + ${\frac{r_b}{h_b}}$ + ${\frac{r_c}{h_c}}$ $\geq$ 3.

Решение

Так как ${\frac{2}{h_a}}$ = ${\frac{1}{r_a}}$ + ${\frac{1}{r_c}}$ (задача 12.21), то ${\frac{r_a}{h_a}}$ = $\left(\vphantom{\frac{r_a}{r_b}+\frac{r_a}{r_c}}\right.$ ${\frac{r_a}{r_b}}$ + ${\frac{r_a}{r_c}}$ $\left.\vphantom{\frac{r_a}{r_b}+\frac{r_a}{r_c}}\right)$ /2. Запишем аналогичные равенства для r_b/h_b и r_c/h_c и сложим их. Учитывая, что ${\frac{x}{y}}$ + ${\frac{y}{x}}$ $\geq$ 2, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.028