Задача 57471

Тема:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 2 Классы: 9

Условие

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

Решение

Пусть A₁ — середина стороны BC. Если  AA₁ < BC/2 = BA₁ = A₁C, то  BAA₁ > ABA₁ и  CAA₁ > ACA₁, поэтому  A = BAA₁ + CAA₁ > B + C, т. е.  A > 90^o. Аналогично, если AA₁ > BC/2, то  A < 90^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	9
Название	Против большей стороны лежит больший угол
Тема	Против большей стороны лежит больший угол
задача
Номер	10.060