Информация о задаче

Задача 57473

Тема:

[

Против большей стороны лежит больший угол

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из высот AH равна медиане BM. Докажите, что $\angle$ B $\leq$ 60^o.

Решение

Пусть точка B₁ симметрична B относительно точки M. Так как высота, опущенная из точки M на сторону BC, равна половине AH, т. е. половине BM, то $\angle$ MBC = 30^o. Поскольку AH — наибольшая из высот, то BC — наименьшая из сторон. Поэтому AB₁ = BC $\leq$ AB, т. е. $\angle$ ABB₁ $\leq$ $\angle$ AB₁B = $\angle$ MBC = 30^o. Следовательно, $\angle$ ABC = $\angle$ ABB₁ + $\angle$ MBC $\leq$ 30^o + 30^o = 60^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	9
Название	Против большей стороны лежит больший угол
Тема	Против большей стороны лежит больший угол
задача
Номер	10.062