Задача 57490

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Пусть A < B < C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Решение

Пусть AA₁ и BB₁ — биссектрисы треугольников OAH и OBH. Согласно задаче 2.1 они являются биссектрисами углов A и B, т. е. центр вписанной окружности — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Из неравенства AC > BC следует, что AH > BH. Поэтому

A₁H/A₁O = AH/AO > BH/BO = B₁H/B₁O,

т. е. точки на прямой OH расположены в таком порядке: O, A₁, B₁, H. Точка O лежит внутри треугольника ABH, поэтому точка пересечения прямых AA₁ и BB₁ лежит внутри треугольника BOH.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.078.1