Задача 57496

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Решение

Пусть  A B C. Предположим сначала, что треугольник ABC остроугольный. При повороте прямой l, в исходном положении параллельной AB, длина проекции треугольника на l будет сначала монотонно изменяться от c до h_b, затем от h_b до a, от a до h_c, от h_c до b, от b до h_a и, наконец, от h_a до c. Так как h_b < a, то существует такое число x, что h_b < x < a. Легко проверить, что отрезок длиной x встречается на любом из первых четырех интервалов монотонности.
Предположим теперь, что треугольник ABC не остроугольный. При повороте прямой l, в исходном положении параллельной AB, длина проекции треугольника на l монотонно убывает сначала от c до h_b, затем от h_b до h_c; после этого она монотонно возрастает сначала от h_c до h_a, а затем от h_a до c. Всего получается два интервала монотонности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.084