Информация о задаче

Задача 57503

Тема:

[

Неравенства для элементов треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC стороны равны a, b, c; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ .

Решение

Так как против большей стороны лежит больший угол, то (a - b)( $\alpha$ - $\beta$ ) $\geq$ 0,(b - c)( $\beta$ - $\gamma$ ) $\geq$ 0 и (a - c)( $\alpha$ - $\gamma$ ) $\geq$ 0. Складывая эти неравенства, получаем

2(a $\displaystyle \alpha$ + b $\displaystyle \beta$ + c $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \geq$ a( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ) + b( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) + c( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = (a + b + c) $\displaystyle \pi$ - a $\displaystyle \alpha$ - b $\displaystyle \beta$ - c $\displaystyle \gamma$ ,

т. е. $\pi$ /3 $\leq$ (a $\alpha$ + b $\beta$ + c $\gamma$ )/(a + b + c).
Из неравенства треугольника следует, что

$\displaystyle \alpha$ (b + c - a) + $\displaystyle \beta$ (a + c - b) + $\displaystyle \gamma$ (a + b - c) > 0,

т. е. a( $\beta$ + $\gamma$ - $\alpha$ ) + b( $\alpha$ + $\gamma$ - $\beta$ ) + c( $\alpha$ + $\beta$ - $\gamma$ ) > 0. Так как $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ , то a( $\pi$ -2 $\alpha$ ) + b( $\pi$ - 2 $\beta$ ) + c( $\pi$ - 2 $\gamma$ ) > 0, т. е. (a $\alpha$ + b $\beta$ + c $\gamma$ )/(a + b + c) < $\pi$ /2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	13
Название	Неравенства в треугольниках
Тема	Неравенства для элементов треугольника (прочее)
задача
Номер	10.091