Задача 57507

Тема:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки X, Y, Z так, что прямые AX, BY, CZ пересекаются в одной точке O. Докажите, что из отношений  OA : OX, OB : OY, OC : OZ по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.

Решение

Предположим, что все данные отношения меньше 2. Тогда  S_ABO + S_AOC < 2S_XBO + 2S_XOC = 2S_OBC, S_ABO + S_OBC < 2S_AOC и  S_AOC + S_OBC < 2S_ABO. Сложив эти неравенства, приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что одно из данных соотношений не больше 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	13
Название	Неравенства в треугольниках
Тема	Неравенства для элементов треугольника (прочее)
задача
Номер	10.095