Информация о задаче

Задача 57587

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точку S проведены прямые a, b, c и d; прямая l пересекает их в точках A, B, C и D. Докажите, что величина AC^.BD/(BC^.AD) не зависит от выбора прямой l.

Решение

Пусть $\alpha$ = $\angle$ (a, c), $\beta$ = $\angle$ (c, d ) и $\gamma$ = $\angle$ (d, b). Тогда

(AC/AS)/(BC/BS) = sin $\displaystyle \alpha$ /sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ), (BD/BS)/(AD/AS) = sin $\displaystyle \gamma$ /sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ).

Поэтому

(AC^.BD)/(BC^.AD) = sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ /sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	1
Название	Теорема синусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.006