Информация о задаче

Задача 57627

Темы:	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ = (a² + b² + c²)/4S;
б) a²ctg $\alpha$ + b²ctg $\beta$ + c²ctg $\gamma$ = 4S.

Решение

а) Так как bc cos $\alpha$ = 2Sctg $\alpha$ , то a² = b² + c² - 4Sctg $\alpha$ . Складывая три аналогичных равенства, получаем требуемое.
б) Для остроугольного треугольника a²ctg $\alpha$ = 2R²sin 2 $\alpha$ = 4S_BOC, где O — центр описанной окружности. Остается сложить три аналогичных равенства. Для треугольника с тупым углом $\alpha$ величину S_BOC нужно взять со знаком минус.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	6
Название	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Тема	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
задача
Номер	12.044