Условие
Окружность
S с центром
O на основании
BC
равнобедренного треугольника
ABC касается равных сторон
AB и
AC.
На сторонах
AB и
AC взяты точки
P и
Q так, что отрезок
PQ
касается окружности
S. Докажите, что тогда
4
PB . CQ =
BC2.
Решение
Пусть
D,
E и
F — точки касания окружности с
BP,
PQ и
QC;
BOD = 90
o -
B = 90
o -
C =
COF =
,
DOP =
POE =
и
EOQ =
QOF =
.
Тогда
180
o =
BOC = 2
+ 2
+ 2
,
т. е.
+
+
= 90
o. Так как
BPO =
DPE/2 = (180
o -
DOE)/2 = 90
o -
и
QOC =
+
= 90
o -
, то
BPO =
COQ. Ясно также, что
PBO =
OCQ. Поэтому
BPO 
COQ,
т. е.
PB . CQ =
BO . CO =
BC2/4.
Источники и прецеденты использования
