Задача 57691

Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Решение

Пусть a = , b = , c = и  d = . Достаточно проверить, что AC BD тогда и только тогда, когда a² + c² = b² + d². Ясно, что d² = |a+b+c|² = a² + b² + c² + 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)]. Поэтому условие AC BD, т. е. 0 = (a+b,b+c) = b² + (b,c) + (a,c) + (a,b), эквивалентно тому, что d² = a² + b² + c² - 2b².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.011