Информация о задаче

Задача 57692

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ ) + ( $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AD}$ ) + ( $\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{BD}$ ) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

а) Выразим все входящие в указанную формулу векторы через $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$ , т. е. запишем $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{CA}$ = - $\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ . После сокращения получим требуемое.
б) Пусть D — точка пересечения высот, проведенных из вершин A и C треугольника ABC. Тогда в доказанной в задаче а) формуле первые два слагаемых нулевые, поэтому последнее слагаемое тоже нулевое, т. е. BD $\perp$ AC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.012