Информация о задаче

Задача 57693

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $\overrightarrow{OH}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Решение

Докажем, что AH $\perp$ BC. $\overrightarrow{AH}$ = $\overrightarrow{AO}$ + $\overrightarrow{OH}$ = $\overrightarrow{AO}$ + $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ = $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{BO}$ + $\overrightarrow{OC}$ = - $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ , поэтому ( $\overrightarrow{AH}$ , $\overrightarrow{BC}$ ) = OC² - OB² = R² - R² = 0, так как O — центр описанной окружности. Аналогично доказывается, что BH $\perp$ AC и CH $\perp$ AB.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.013