Условие
Точки
A,
B,
C и
D таковы, что для любой точки
M
числа
(
,
) и
(
,
) различны.
Докажите, что
=
.
Решение
Фиксируем произвольную точку
O. Пусть
m =
,
a =
,...,
d =
. Тогда
(
,
) - (
,
) = (
a -
m,
b -
m) - (
c -
m,
d -
m) = (
c+
d-
a-
b,
m) + (
a,
b) - (
c,
d). Если
v =
c +
d -
a -
b
0, то когда
точка
M пробегает всю плоскость, величина
(
v,
m)
принимает все действительные значения, в частности, она принимает
значение
(
c,
d) - (
a,
b). Следовательно,
v = 0, т. е.
+
=
+
,
а значит,
=
.
Источники и прецеденты использования
