Информация о задаче

Задача 57699

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

Решение

Пусть n₁,...,n_k — единичные внешние нормали к сторонам, a M₁,..., M_k — произвольные точки на этих сторонах. Для любой точки X, лежащей внутри многоугольника, расстояние до i-й стороны равно ( $\overrightarrow{XM_i}$ ,n_i). Поэтому суммы расстояний от внутренних точек A и B до сторон многоугольника равны тогда и только тогда, когда $\sum\limits_{i=1}^{k}$ ( $\overrightarrow{AM_i}$ ,n_i) = $\sum\limits_{i=1}^{k}$ ( $\overrightarrow{BM_i}$ ,n_i) = $\sum\limits_{i=1}^{k}$ ( $\overrightarrow{BA}$ ,n_i) + $\sum\limits_{i=1}^{k}$ ( $\overrightarrow{AM_i}$ ,n_i), т. е. $\Bigl($ $\overrightarrow{BA}$ , $\sum\limits_{i=1}^{n}$ n_i $\Bigr)$ = 0. Следовательно, сумма расстояний от любой внутренней точки многоугольника до сторон постоянна тогда и только тогда, когда $\sum$ n_i = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.017