Задача 57700

Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Решение

Пусть l — произвольная прямая, n — единичный вектор, перпендикулярный прямой l. Если точки A и B лежат в той же полуплоскости, заданной прямой l, что и вектор  n, то (B, l )- (A, l )= (,n), где (X, l ) — расстояние от точки X до прямой l.
Пусть  n₁, n₂, n₃ и  n₄ — единичные векторы, перпендикулярные последовательным сторонам четырехугольника ABCD и направленные внутрь. Обозначим сумму расстояний от точки X до сторон четырехугольника ABCD через (X). Тогда 0 = (B) - (A) = (,n₁ + n₂ + n₃ + n₄). Аналогично (,n₁ + n₂ + n₃ + n₄) = 0. Так как точки A, B и C не лежат на одной прямой, то n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 0. Остается воспользоваться результатом задачи 13.5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.018