Условие
Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так,
чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся
трех векторов.
Решение
Рассмотрим пять векторов
a1,
a2,
a3,
a4,
a5 и предположим, что длина суммы любых двух из
них больше длины суммы трех оставшихся. Так как
|
a1 +
a2| > |
a3 +
a4 +
a5|, то
|
a1|
2 + 2(
a1,
a2) + |
a2|
2 > |
a3|
2 + |
a4|
2 + |
a5|
2 + 2(
a3,
a4) + 2(
a4,
a5) + 2(
a3,
a5).
Складывая такие неравенства для всех десяти пар векторов, получаем
4(|
a1|
2 +...) + 2((
a1,
a2) +...) > 6(|
a1|
2 +...) + 6((
a1,
a2)...), т. е.
|
a1+
a2+
a3+
a4+
a5|
2 < 0. Приходим к противоречию.
Источники и прецеденты использования
