Условие
Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше
длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось,
проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.
Решение
Обозначим данные векторы
e1,...,
e10. Пусть
=
e1 +...+
e10. Докажем, что луч
AB задает
искомую ось. Ясно, что
|
-
ei|
2 =
AB2 - 2(
,
ei) + |
ei|
2, т. е.
(
,
ei) = (
AB2 + |
ei|
2 - |
-
ei|
2)/2. По условию
AB > |
-
ei|, поэтому
(
,
ei) > 0, т. е.
проекция вектора
ei на луч
AB положительна.
Источники и прецеденты использования
