Задача 57708

Тема:    [ Неравенства с векторами ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

Решение

Можно считать, что сумма  a данных векторов отлична от нуля, так как иначе утверждение задачи очевидно. Введем систему координат, направив ось Oy по вектору  a. Занумеруем векторы нижней полуплоскости по порядку — по часовой стрелке: e₁,e₂,... (рис.). По условию этих векторов не менее k. Докажем, что среди данных векторов найдутся еще такие векторы v₁,...,v_k, что для любого i = 1,..., k вектор v_i + e_i имеет неположительную вторую координату. Этим будет доказано требуемое утверждение. В самом деле, длина суммы всех данных векторов равна сумме вторых координат (именно так была введена система координат). Сумма векторов e₁,v₁,...,e_k,v_k имеет неположительную вторую координату, а вторая координата любого из оставшихся n - 2k векторов не превосходит 1. Поэтому вторая координата суммы всех данных векторов не превосходит n - 2k.
Пусть векторы e₁,...,e_p лежат в четвертом квадранте. Начнем сопоставлять им векторы v₁,...,v_p. Будем поворачивать нижнюю полуплоскость, состоящую из точек с неположительной второй координатой, поворачивая ось Ox по часовой стрелке на угол от 0^o до  90^o. Если один из двух векторов, лежащих в повернутой таким образом полуплоскости, расположен в четвертом квадранте, то их сумма имеет неположительную вторую координату. Как только при повороте плоскости ось Ox перейдет за вектор  e₁, к векторам e₂,...,e_k, лежащим в ней, должен добавиться еще хотя бы один вектор; поэтому следующий за  e_k по порядку вектор можно взять в качестве  v₁. Аналогично, когда ось Ox перейдет за вектор  e₂, получим вектор  v₂ и т. д. Такие же рассуждения остаются справедливыми до тех пор, пока ось Ox остается в четвертом квадранте. Для векторов e_{p + 1},...,e_k, лежащих в третьем квадранте, доказательство проводится аналогично (если вектор  e_{p + 1} имеет нулевую первую координату, то его следует сначала выбросить из рассмотрения, а затем в качестве парного к нему взять любой из оставшихся векторов).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.026