Информация о задаче

Задача 57718

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый 2n-угольник A₁A₂...A_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

| $\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ | $\displaystyle \le$ 2.

Решение

Пусть a = $\overrightarrow{A_1A_2}$ + $\overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ , причем a $\ne$ 0. Введем систему координат, направив ось Ox вдоль вектора a. Так как сумма проекций векторов $\overrightarrow{A_1A_2}$ , $\overrightarrow{A_3A_4}$ ,..., $\overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ на ось Oy равна нулю, то длина вектора a равна абсолютной величине разности между суммой длин положительных проекций этих векторов на ось Ox и суммой длин их отрицательных проекций; следовательно, длина вектора a не превосходит либо суммы длин положительных проекций векторов, либо суммы длин их отрицательных проекций. Легко проверить, что как сумма длин положительных проекций, так и сумма длин отрицательных проекций данных векторов на любую ось не превосходит диаметра окружности, т. е. не превосходит 2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	5
Название	Вспомогательные проекции
Тема	Вспомогательные проекции
задача
Номер	13.036