ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57734
Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Пусть v(t) и  w(t) — векторы, соединяющие первого пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что v(t) = ta + b и  w(t) = tc + d. Пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда v(t)|w(t), т. е. v(t) $ \vee$ w(t) = 0. Функция f (t) = v(t) $ \vee$ w(t) = t2a $ \vee$ c + t(a $ \vee$ d + b $ \vee$ c) + b $ \vee$ d является квадратным трехчленом, причем f (0)$ \ne$ 0. Квадратный трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 7
Название Псевдоскалярное произведение
Тема Псевдоскалярное произведение
задача
Номер 13.051

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .