ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57736
Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки P1, P2 и P3, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2n-угольника A1...A2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников A1A2Pi, A3A4Pi,..., A2n - 1A2nPi равна одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки P сумма площадей этих треугольников равна c.

Решение

Пусть aj = $ \overrightarrow{P_1A_j}$. Тогда удвоенная сумма площадей указанных треугольников для любой внутренней точки P равна

(x + a1) $\displaystyle \vee$ (x + a2) + (x + a3) $\displaystyle \vee$ (x + a4) +...+ (x + a2n - 1) $\displaystyle \vee$ (x + a2n),

где x = $ \overrightarrow{PP_1}$; от удвоенной суммы площадей этих треугольников для точки P1 она отличается на x $ \vee$ (a1 - a2 + a3 - a4 +...+ a2n - 1 - a2n) = x $ \vee$ a. По условию x $ \vee$ a = 0 при x = $ \overrightarrow{P_2P_1}$ и  x = $ \overrightarrow{P_3P_1}$, причем эти векторы не параллельны. Следовательно, a = 0, т. е. x $ \vee$ a = 0 для любого вектора  x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 7
Название Псевдоскалярное произведение
Тема Псевдоскалярное произведение
задача
Номер 13.053

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .