Условие
Точки
P1,
P2 и
P3, не лежащие на одной прямой,
расположены внутри выпуклого 2
n-угольника
A1...
A2n.
Докажите, что если сумма площадей треугольников
A1A2Pi,
A3A4Pi,...,
A2n - 1A2nPi равна одному и тому же
числу
c для
i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки
P
сумма площадей этих треугольников равна
c.
Решение
Пусть
aj =
. Тогда удвоенная сумма площадей
указанных треугольников для любой внутренней точки
P равна
(
x +
a1)
(
x +
a2) + (
x +
a3)
(
x +
a4) +...+ (
x +
a2n - 1)
(
x +
a2n),
где
x =
; от удвоенной суммы площадей этих треугольников
для точки
P1 она отличается на
x (
a1 -
a2 +
a3 -
a4 +...+
a2n - 1 -
a2n) =
x a. По условию
x a = 0 при
x =
и
x =
, причем
эти векторы не параллельны. Следовательно,
a = 0,
т. е.
x a = 0 для любого вектора
x.
Источники и прецеденты использования