ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57737
Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что CQ || AP, а точка R такова, что AR || BQ и  CR || BP. Докажите, что SABC = SPQR.

Решение

Пусть a = $ \overrightarrow{AP}$, b = $ \overrightarrow{BQ}$ и  c = $ \overrightarrow{CR}$. Тогда $ \overrightarrow{QC}$ = $ \alpha$a, $ \overrightarrow{RA}$ = $ \beta$b и  $ \overrightarrow{PB}$ = $ \gamma$c, причем (1 + $ \alpha$)a + (1 + $ \beta$)b + (1 + $ \gamma$)c = 0. Достаточно проверить, что $ \overrightarrow{AB}$ $ \vee$ $ \overrightarrow{CA}$ = $ \overrightarrow{PQ}$ $ \vee$ $ \overrightarrow{RP}$. Разность между этими величинами равна (a + $ \gamma$c) $ \vee$ (c + $ \beta$b) - ($ \gamma$c + b) $ \vee$ (a + $ \beta$b) = a $ \vee$ c + $ \beta$a $ \vee$ b + a $ \vee$ b + $ \gamma$a $ \vee$ c = a $ \vee$ [(1 + $ \gamma$)c + (1 + $ \beta$)b] = - a $ \vee$ (1 + $ \alpha$)a = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 7
Название Псевдоскалярное произведение
Тема Псевдоскалярное произведение
задача
Номер 13.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .