ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57739
Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что

S2 - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.


Решение

Пусть x = x1e1 + x2e2. Тогда e1 $ \vee$ x = x2(e1 $ \vee$ e2) и  x $ \vee$ e2 = x1(e1 $ \vee$ e2), т. е.

x = ((x $\displaystyle \vee$ e2)e1 + (e1 $\displaystyle \vee$ x)e2)/(e1 $\displaystyle \vee$ e2).

Домножив это выражение справа на (e1 $ \vee$ e2)y, получим

(x $\displaystyle \vee$ e2)(e1 $\displaystyle \vee$ y) + (e1 $\displaystyle \vee$ x)(e2 $\displaystyle \vee$ y) + (e2 $\displaystyle \vee$ e1)(x $\displaystyle \vee$ y) = 0.1)

Пусть e1 = $ \overrightarrow{AB}$, e2 = $ \overrightarrow{AC}$, x = $ \overrightarrow{AD}$ и  y = $ \overrightarrow{AE}$. Тогда S = a + x $ \vee$ e2 + d = c + y $ \vee$ e2 + a = d + x $ \vee$ e1 + b, т. е. x $ \vee$ e2 = S - a - d, y $ \vee$ e2 = S - c - a и  x $ \vee$ e1 = S - d - b. Подставив эти выражения в (1), получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 7
Название Псевдоскалярное произведение
Тема Псевдоскалярное произведение
задача
Номер 13.056

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .