ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 57739
УсловиеВ выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что
S2 - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.
РешениеПусть x = x1e1 + x2e2. Тогда e1 x = x2(e1 e2) и x e2 = x1(e1 e2), т. е.
x = ((x e2)e1 + (e1 x)e2)/(e1 e2).
Домножив это выражение справа на
(e1 e2)y,
получим
(x e2)(e1 y) + (e1 x)(e2 y) + (e2 e1)(x y) = 0.1)
Пусть
e1 = ,
e2 = ,
x =
и
y = . Тогда
S = a + x e2 + d = c + y e2 + a = d + x e1 + b, т. е.
x e2 = S - a - d,
y e2 = S - c - a
и
x e1 = S - d - b. Подставив эти выражения в (1),
получим требуемое.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|