Условие
Докажите теорему Чевы (задача
4.48, б)) с помощью группировки масс.
Решение
Пусть прямые
AA1 и
CC1 пересекаются в точке
O;
AC1 :
C1B =
p и
BA1 :
A1C =
q. Нужно доказать, что
прямая
BB1 проходит через точку
O тогда и только тогда,
когда
CB1 :
B1A = 1 :
pq.
Поместим в точки
A,
B и
C массы 1,
p и
pq соответственно.
Тогда точка
C1 является центром масс точек
A и
B, а точка
A1 — центром масс точек
B и
C. Поэтому центр масс точек
A,
B
и
C с данными массами является точкой
O пересечения прямых
CC1
и
AA1. С другой стороны, точка
O лежит на отрезке, соединяющем
точку
B с центром масс точек
A и
C. Если
B1 — центр масс
точек
A и
C с массами 1 и
pq, то
AB1 :
B1C =
pq : 1.
Остается заметить, что на отрезке
AC существует единственная точка,
делящая его в данном отношении
AB1 :
B1C.
Источники и прецеденты использования
