Условие
На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$,
$C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть
$\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$,
$BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что
прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).
Решение
Параллельность прямых $A_1 B_2$ и $AB$ означает, что если $B_2$ —
центр масс точек $A$ и $C$ с массами 1 и $\gamma$, то $A_1$ — центр масс точек $B$ и $C$ с массами 1 и $\gamma$. Определим числа $\alpha$ и $\beta$ аналогично.
Прямые $BB_1$ и $CC_2$ пересекаются в центре масс точек $A$, $B$ и $C$ с массами $\alpha$, 1 и 1. Прямые $BB_2$ и $CC_1$ пересекаются в центре масс точек $A$, $B$ и $C$ с массами 1, $\beta$ и $\gamma$. Поэтому прямая $\ell_a$ проходит через центр масс точек $A$, $B$ и $C$ с массами $1 + \alpha$, $1 + \beta$ и $1 + \gamma$. Аналогично доказывается, что через эту точку проходят и прямые $\ell_b$ и $\ell_c$. Если сумма масс равна нулю, то центр масс — бесконечно удаленная точка; в этом случае прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ параллельны.
Источники и прецеденты использования
