Задача 57778

Тема:    [ Барицентрические координаты ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Пусть задан треугольник A₁A₂A₃. Докажите, что:
а) любая точка X имеет некоторые барицентрические координаты относительно него;
б) при условии m₁ + m₂ + m₃ = 1 барицентрические координаты точки X определены однозначно.

Решение

Введем следующие обозначения: e₁ = , e₂ = и  x = . Точка X является центром масс вершин треугольника A₁A₂A₃ c массами m₁, m₂, m₃ тогда и только тогда, когда m₁(x + e₁) + m₂(x + e₂) + m₃x = 0, т. е. mx = - (m₁e₁ + m₂e₂), где m = m₁ + m₂ + m₃. Будем считать, что m = 1. Любой вектор  x на плоскости можно представить в виде x = - m₁e₁ - m₂e₂, причем числа m₁ и m₂ определены однозначно. Число m₃ находится по формуле m₃ = 1 - m₁ - m₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.030